2021 数学考试问题

(这篇是水博客用的, 不过总感觉好像之前也干过类似的事.)

现在高考全国卷好像分四套了: 甲卷、乙卷、一卷、二卷，感觉总体上有题目一年出得比一年差的趋势.

(高考全国甲卷) 已知 \(a>0\) 且 \(a\neq1\), 函数 \(f(x)=\frac{x^a}{a^x},\ x>0\).

1. 当 \(a=2\) 时, 求 \(f(x)\) 的单调区间;
2. 若曲线 \(y=f(x)\) 与直线 \(y=1\) 有且仅有两个交点, 求 \(a\) 的取值范围.

Sketch:
即解 \[ \frac{x^a}{a^x}=1\quad\Rightarrow\quad f(x)=\frac{\ln x}{x}=\frac{\ln a}{a}=f(a) \] 注意到 \(\frac{\ln x}{x}\) 在 \((0,\mathrm e)\) 增, 在 \((\mathrm e,\infty)\) 减. 故若想要方程有两解, 则需 \(f(a)<\mathrm e^{-1}\). 注意到 \(f(0-)=-\infty,f(+\infty)=+0\), 由单调性, 我们还需要 \(f(a)>0\). 故所求 \(a\) 的取值范围为 \[ f^{-1}\Big((0,\mathrm e^{-1})\Big) = (1,\mathrm e)\cup(\mathrm e,+\infty) \]

(高考全国一卷) 已知函数 \(f(x)=x(1-\ln x)\).

1. 讨论 \(f(x)\) 的单调性;
2. 设 \(a,b\) 为两个不相等的正数, 且 \(b\ln a-a\ln b=a-b\). 证明: \(2<\frac1a+\frac1b<\mathrm e\).

Sketch:
稍作整理可知 \(a,b\) 满足 \(f(a^{-1})=f(b^{-1})\). 由于 \(f(x)\) 在 \((0,1)\) 上增, 在 \((1,\mathrm e)\) 上减, 且在 \((0,\mathrm e)\) 上为正, 在 \((\mathrm e,\infty)\) 为负. 故条件可变为 \[ 0<x_1<1<x_2<\mathrm e,\quad\text{s.t.}\quad f(x_1)=f(x_2) \] 我们对 \(d=1-x_1\in(0,1)\) 考虑 \[ f(1+d)-f(1-d)=\int_{1-d}^{1+d}f'(t)\mathrm dt=\int_0^d\Big(f'(1-t)+f'(1+t)\Big)\mathrm dt \] 注意到 \(f'(1-t)+f'(1+t)=-\ln(1-t^2)>0,\ \forall t\in(0,d)\), 故 \(f(1+d)>f(1-d)\), 结合 \(f(x_2)=f(1-d)\) 与 \(f\) 在 \((1,\mathrm e)\) 递减可得 \[ x_2>1+d=2-x_1\quad\Rightarrow\quad x_1+x_2>2 \] 另一方面, 注意到 \(x+y=\mathrm e\) 在 \((\mathrm e,0)\) 处与 \(y=f(x)\) 相切且 \(f\) 为凹, 故我们有 \[ x_2<\mathrm e-f(x_1)\quad\Rightarrow\quad x_1+x_2<\mathrm e+x_1\ln x_1<\mathrm e \] 综合上述两方面即得证.

(考研数一) 设 \(D\subset\mathbb R^2\) 是有界单连通闭区域, 积分 \[ I(D) = \iint_D(4-x^2-y^2)\mathrm dx\mathrm dy \] 取得最大值的积分区域记为 \(D_1\).

1. 求 \(I(D_1)\) 的值;
2. 计算 \[ \oint_{\partial D_1^+}\frac{(x\mathrm e^{x^2+4y^2}+y)\mathrm dx+(4y\mathrm e^{x^2+4y^2}-x)\mathrm dy}{x^2+4y^2} \]

Sketch:
显然 \(D\) 为 \(D_1=\{(x,y)\in\mathbb R^2\mid x^2+y^2\leq4\}\) 时积分取得最大值. 记第 2 问中所求积分为 \(J\), 利用 Green 公式 \[ \begin{aligned} J&=\oint_{\partial D_1^+}\frac{(x\mathrm e^{4+3y^2}+y)\mathrm dx+(4y\mathrm e^{4+3y^2}-x)\mathrm dy}{4+3y^2}\\ &=\iint_{D_1}\frac{-1}{(4+3y^2)^2}\bigg(8+(18xy+18xy^3)\mathrm e^{4+3y^2}\bigg)\mathrm dx\mathrm dy\\ &=-8\iint_{D_1}\frac{\mathrm dx\mathrm dy}{(4+3y^2)^2}\\ &=-32\int_0^{\pi/2}\!\!\!\!\int_0^2\frac{r}{(4+3r^2\sin^2\theta)^2}\mathrm dr\mathrm d\theta:=-32J' \end{aligned} \] 其中第三个等号的成立是对固定 \(y\), 被积为 \(x\) 的奇函数; 第四个等号为极坐标代换. 下面我们来求 \(J'\), 对分母作代换 \(s=4+3r^2\sin^2\theta\), 则 \[ \begin{aligned} J'&=\int_{0}^{\pi/2}\frac{\mathrm d\theta}{6\sin^2\theta}\int_{4}^{4+12\sin^2\theta}\frac{\mathrm ds}{s^2}\\ &=\frac{1}{8}\int_{0}^{\pi/2}\frac{1}{1+3\sin^2\theta}\mathrm d\theta\quad\text{代换: }t=\tan\theta\\ &=\frac18\int_{0}^{\infty}\frac{1}{1+4t^2}\mathrm dt\\ &=\frac{1}{16}\tan^{-1}(2t)\bigg|_{0}^{\infty}=\frac{\pi}{32} \end{aligned} \] 故所求结果为 \(J=-32J'=-\pi\).